Родился 14 сентября 1924 года в районном центре Благовещенского района Башкирии – городе Благовещенске в семье рабочего. Русский. Член ВКП(б)/КПСС с 1943 года. Окончил 7 классов. Работал слесарем-ремонтником на арматурном заводе на заводе.

В Красную Армию призван в феврале 1942 года Благовещенским райвоенкоматом Башкирской АССР. Направлен в школу младших командиров, а затем – в военное училище, окончить которое не пришлось, так как многих курсантов командование направило в прославленную в сражениях за Сталинград - 13-ю гвардейскую стрелковую дивизию. В боях Великой Отечественной войны с марта 1943 года. Воевал на Курской дуге, прошёл с боями, освобождая Украину, Польшу. Участвовал в форсировании рек Днепр, Висла, Одер, Эльба. Закончил войну, освобождая столицу Чехословакии – Прагу (ныне – столица Чехии).

Командир миномётного расчёта 34-го гвардейского стрелкового полка (13-я гвардейская стрелковая дивизия, 5-я гвардейская армия, 2-й Украинский фронт) гвардии младший сержант Михаил Киняшов, командуя бойцами, в боях 27 января – 2 февраля 1944 года в районе села Ковалёвка Маловисковского района Кировоградской области Украины из миномёта поразил пять пулемётных точек, два блиндажа, две повозки с грузом.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 7 марта 1944 года за образцовое выполнение заданий командования в боях с немецко-фашистскими захватчиками гвардии младший сержант Киняшов Михаил Александрович награждён орденом Славы 3-й степени (№ 51623).

16 августа 1944 года М.А. Киняшов в составе того же полка, дивизии и армии (1-й Украинский фронт) при отражении атаки противника в районе населённого пункта Стопница, расположенного в 14-и километрах юго-восточнее польского города Буско-Здруй, миномётным огнём накрыл две огневые точки и истребил около пятнадцати гитлеровцев.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 18 сентября 1944 года за образцовое выполнение заданий командования в боях с немецко-фашистскими захватчиками гвардии младший сержант Киняшов Михаил Александрович награждён орденом Славы 2-й степени (№ 3542).

19 апреля 1945 года в бою у населённого пункта Грос-Партвиц, что в 9-и километрах восточнее города Зенфтенберг (Германия), подавив несколько пулемётов противника, командир миномётного расчёта 34-го гвардейского стрелкового полка (13-я гвардейская стрелковая дивизия, 5-я гвардейская армия, 1-й Украинский фронт) гвардии младший сержант Михаил Киняшов поддержал своим огнём форсирование стрелковыми подразделениями реки Шпре.

20 апреля 1945 года, действуя в боевых порядках пехоты, отважный миномётчик уничтожил шесть пулемётов и свыше десяти солдат противника.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 27 июня 1945 года за образцовое выполнение заданий командования в боях с немецко-фашистскими захватчиками гвардии младший сержант Киняшов Михаил Александрович награждён орденом Славы 1-й степени (№ 197), став полным кавалером ордена Славы.

В 1947 году гвардии старшина Киняшов М.А. демобилизован. Вернулся в Башкирию – в родной город Благовещенск. Работал слесарем, мастером, заместителем начальника и начальником паросилового цеха на Благовещенском арматурном заводе. Скончался 2 июня 1995 года. Похоронен в городе Благовещенске – районном центре Благовещенского района Башкирии.

Награждён орденами Отечественной войны 1-й степени, Красной Звезды, орденами Славы 1-й, 2-й и 3-й степени, медалями. Удостоен звания «Почётный гражданин города Благовещенска».

В городе Благовещенске в историко-краеведческом музее имеется стенд, посвящённый полному кавалеру ордена Славы М.А. Киняшову. Одна из улиц Благовещенска носит имя славного земляка.

ИЗ НАГРАДНЫХ ЛИСТОВ М.А. КИНЯШОВА :

«...В боях с немецкими захватчиками 27.01.44 - 02.02.44 г. в районе юго-западнее «Квадратной» рощи проявил мужество и отвагу. Вместе со своим расчетом, находясь под артиллерийско-минометным огнем противника, огнем своего миномета уничтожил пять пулеметных точек, разрушил два блиндажа, разбил две подводы с грузом противника и непрерывным огнем способствовал продвижению нашей пехоты...»

«...В боях с немецкими захватчиками проявил смелость, мужество и отвагу. 16.08.44 года в районе города Стопница противник превосходящими силами после сильного артиллерийского обстрела атаковал боевые подразделения полка. Хорошо замаскировавшись, не взирая на постоянный обстрел противника, открыл сильный огонь из своего миномета по огневым точкам и пехоте противника. Атака врага была сорвана. В этом бою огнем своего миномета тов. Киняшов истребил до 15 немецких солдат и подавил 2 пулеметные точки врага...»

«...В боях с немецкими захватчиками проявил смелость, отвагу и бесстрашие.

В ночь на 19.04.45 г., когда батальон форсировал реку Шпрее, он огнем своего миномета прикрывал переправу. Ведя беспрерывный прицельный огонь по пулеметным точкам врага, он подавлял огневые точки, мешавшие продвижению нашей пехоты.

20.04.45 г. в боях за село Гросс-Петервитц, выдвинув свой миномет в боевые порядки пехоты, умело поддерживал наступление своей пехоты. В этом бою он истребил до 15 немецких солдат и офицеров, уничтожил 2 станковых и 4 ручных пулемета врага, тем самым способствовал успеху боя...»